Ejercicio de oscilación de circuito RCL

Publicadas por בן האלוהים el julio 06, 2019

Dado el circuito:

Circuito RCL en paralelo

a) Si conecta el interruptor S, en la posición 1; establezca la ecuación de corrientes de Kirchhoff

b)Al colocar el interruptor S en la posición 1 --- en un tiempo muy largo --- el condensador C se carga a un valor Q(infinito). Si luego cambiamos al interruptor S en la posición 2, --- desconectamos la fuente ---: encuentre :

1) El valor de Rc para que el amortiguamiento sea critico. 2) Si Rc disminuye en 10% el valor anterior, Que tipo de amortiguamiento se tiene? 3) Cuanto vale la perdida de energía por ciclo? 4) Con los valores, Q(0)=0 y Q`(0)= I(0)= 1 mA, encuentre la solución homogénea, de la ecuación obtenida en 1a.

2) Si ahora se conecta el generador con una fuente sinusoidal de valor I(t) = Io. Sen(w`t ) encuentre:

a) Frecuencia de resonancia

b) La amplitud del voltaje y la fase en función de la frecuencia

c) Energía almacenada por la inductancia y el condensador

d) La perdida de energía disipada

Aplicación numérica

$C= 5 \eta F ; L = 0.05 m H : I\circ = 12 mA ; \ T=6\mu S$

Resolución:

a) Si conecta el interruptor S, en la posición 1; establezca la ecuación de corrientes de Kirchhoff

Las corrientes que entran son igual a las corrientes que salen:

$i\left ( t \right )= iR+ iC + iL$

Sustituyendo sus expresiones:

$i\left ( t \right ) = \frac{V}{R} + C\frac{\mathrm{dV} }{\mathrm{d} t} + \frac{1}{L}\int V\left ( t \right )dt$

b) Si la fuente esta desconectada ---- un corto tiempo

Derivamos la EDO y colocamos a i(t)=0

$0= \frac{1}{R}\frac{\mathrm{dV} }{\mathrm{dt} } + C \frac{\mathrm{dV^{2}} }{\mathrm{dt^{2}} }+ \frac{1}{L}V\left ( t \right )$

Ordenando y dividiendo entre C

$0= \frac{\mathrm{d^{2}} V}{\mathrm{dt^{2}} }+\frac{1}{RC}\frac{\mathrm{dV} }{\mathrm{dt} }+ \frac{V\left ( t \right )}{LC}$

Ahora podemos aplicar LAPLACE o resolver la EDO

por La transformada de LAPLACE nos queda:

$S\left ( 12 \right )= S^{2}+\frac{1}{RC}S + \frac{V}{LC}$

$S\left ( 12 \right )= \frac{\frac{-1}{RC}\pm \sqrt{\left ( \frac{1}{RC} \right )^{2}-4\left ( \frac{V}{LC} \right )}}{2}$

donde:

$\frac{1}{RC}$

pulsación propia

$\frac{V}{LC}$

decremento logarítmico

$\left ( \frac{1}{Rc}\right )^{2}= \left ( \frac{V}{LC} \right )^{2}$

Amortiguamiento critico

$\left ( \frac{1}{Rc}\right )^{2}> \left ( \frac{V}{LC} \right )^{2}$

Sobre amortiguado

$\left ( \frac{1}{Rc}\right )^{2}< \left ( \frac{V}{LC} \right )^{2}$

Sub- Amortiguado

Como no es muy intuitivo para algunos lectores mejor aplicaremos la otra opción

$0= \frac{\mathrm{d^{2}} V}{\mathrm{dt^{2}} }+\frac{1}{RC}\frac{\mathrm{dV} }{\mathrm{dt} }+ \frac{V\left ( t \right )}{LC}$

Podemos decir:

$0=\frac{\mathrm{d^{2}V} }{\mathrm{d^{2}}t }+ \frac{2}{2RC}\frac{\mathrm{dV} }{\mathrm{dt} } + \frac{V\left ( t \right )}{LC}$

tenemos que:

$\beta =\frac{1}{2RC}$

pulsación propia

$w\circ^{2} = \frac{1}{LC}$

decremento logarítmico

Se espera que la solución homogénea es de la forma:

$V\left ( t \right )= Ae^{pt}$

Entonces nos queda:

$Ae^{pt}\left ( p^{2} + 2\beta p+ \omega\circ ^{2}\right )=0$

aplicando la ecuación característica de la ecuación diferencia asociada, se tiene como raíces:

$p=-\beta \pm \sqrt{\beta ^{2}-\omega \circ ^{2}}$

Ahora si queremos un amortiguamiento critico:

$\beta =\omega \circ ^{2}$

sobre-amortiguado:

$\beta > \omega \circ ^{2}$

sub-amortiguado:

$\beta < \omega \circ ^{2}$

Publicado por:

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